Метод наименьших квадратов онлайн

Метод наименьших квадратов онлайн

Метод наименьших квадратов онлайн
СОДЕРЖАНИЕ

Принципы построения статистических группировок

. В случае наблюдений дискретной случайной величины одно и то же значение можно встретить несколько раз. Такие значения x случайной величины записывают с указанием n числа раз его появления в наблюдениях, это и есть частота данного значения.
В случае непрерывной случайной величины на практике применяют группировку.

  1. Типологическая группировка – это разделение исследуемой качественно разнородной совокупности на классы, социально–экономические типы, однородные группы единиц. Для построения данной группировки используйте параметр Дискретный вариационный ряд.
  2. Структурной называется группировка, в которой происходит разделение однородной совокупности на группы, характеризующие ее структуру по какому–либо варьирующему признаку. Для построения данной группировки используйте параметр Интервальный ряд.
  3. Группировка, выявляющая взаимосвязи между изучаемыми явлениями и их признаками, называется аналитической группировкой (см. аналитическая группировка ряда).

Пример №1. По данным таблицы 2 постройте ряды распределения по 40 коммерческим банкам РФ. По полученным рядам распределения определите: прибыль в среднем на один коммерческий банк, кредитные вложения в среднем на один коммерческий банк, модальное и медианное значение прибыли; квартили, децили, размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Решение:
В разделе «Вид статистического ряда» выбираем Дискретный ряд. Нажимаем Вставить из Excel. Количество групп: по формуле Стэрджесса

называется признак, по которому производится разбивка совокупности на отдельные группы. Его называют основанием группировки. В основание группировки могут быть положены как количественные, так и качественные признаки.
После определения основания группировки следует решить вопрос о количестве групп, на которые надо разбить исследуемую совокупность.

https://www.youtube.com/watch?v=ytadvertiseru

k = 1 3,322*lg(N)

где – число групп, – число единиц совокупности.

Длину частичных интервалов вычисляют как h=(xmax-xmin)/k

Затем подсчитывают числа попаданий наблюдений в эти интервалы, которые принимают за частоты ni. Малочисленные частоты, значения которых меньше 5 (ni {amp}lt; 5), следует объединить. в этом случае надо объединить и соответствующие интервалы.
В качестве новых значений вариант берут середины интервалов xi=(ci-1 ci)/2.

Пример №3.
В результате 5%-ной собственно-случайной выборки получено следующее распределение изделий по содержанию влаги. Рассчитайте:
1) средний процент влажности; 2) показатели, характеризующие вариацию влажности.
Решение получено с помощью калькулятора: Пример №1

Классификация методов наименьших квадратов

используется для оценки параметров уравнение регрессии.

Одним из методов изучения стохастических связей между признаками является регрессионный анализ.
Регрессионный анализ представляет собой вывод уравнения регрессии, с помощью которого находится средняя величина случайной переменной (признака-результата), если величина другой (или других) переменных (признаков-факторов) известна. Он включает следующие этапы:

  1. выбор формы связи (вида аналитического уравнения регрессии);
  2. оценку параметров уравнения;
  3. оценку качества аналитического уравнения регрессии.

yi=a b·xi ui. Параметры данного уравнения оцениваются по данным статистического наблюдения  .
Результатом такой оценки является уравнение:
, где  – оценки параметров – значение результативного признака (переменной), полученное по уравнению регрессии (расчетное значение).

Наиболее часто для оценки параметров используют

метод наименьших квадратов (МНК).

Метод наименьших квадратов дает наилучшие (

состоятельные, эффективные и несмещенные

) оценки параметров уравнения регрессии. Но только в том случае, если выполняются определенные предпосылки относительно случайного члена (

u

) и независимой переменной (

x

) (см.

предпосылки МНК

).

Задача оценивания параметров линейного парного уравнения методом наименьших квадратов состоит в следующем: получить такие оценки параметров , , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака – yi от расчетных  значений –  минимальна.

Формально критерий МНК можно записать так: .

  1. Метод наименьших квадратов.
  2. Метод максимального правдоподобия (для нормальной классической линейной модели регрессии постулируется нормальность регрессионных остатков).
  3. Обобщенный метод наименьших квадратов ОМНК применяется в случае автокорреляции ошибок и в случае гетероскедастичности.
  4. Метод взвешенных наименьших квадратов (частный случай ОМНК с гетероскедастичными остатками).

Проиллюстрируем суть классического метода наименьших квадратов графически. Для этого построим точечный график по данным наблюдений (xi, yi, i=1;n) в прямоугольной системе координат (такой точечный график называют корреляционным полем). Попытаемся подобрать прямую линию, которая ближе всего расположена к точкам корреляционного поля.

Согласно методу наименьших квадратов линия выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками корреляционного поля и этой линией была бы минимальной.
Математическая запись данной задачи: .
Значения yi и xi=1…n нам известны, это данные наблюдений. В функции S они представляют собой константы.

Правильность расчета параметров уравнения регрессии может быть проверена сравнением сумм  (возможно некоторое расхождение из-за округления расчетов).
Для расчета оценок параметров , можно построить таблицу 1.

Знак коэффициента регрессии b указывает направление связи (если b{amp}gt;0, связь прямая, если b {amp}lt;

0, то связь обратная). Величина b показывает на сколько единиц изменится в среднем признак-результат -y при изменении признака-фактора – х на 1 единицу своего измерения.
Формально значение параметра а – среднее значение y при х равном нулю. Если признак-фактор не имеет и не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка параметра а не имеет смысла.

Оценка тесноты связи между признаками осуществляется с помощью коэффициента линейной парной корреляции – rx,y.
Он может быть рассчитан по формуле: . Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть  определен через коэффициент регрессии b: .

Область допустимых значений линейного коэффициента парной корреляции от –1 до 1.

Знак коэффициента корреляции указывает направление связи. Если rx, y{amp}gt;0, то связь прямая; если rx, y{amp}lt;0, то связь обратная.

Если данный коэффициент по модулю близок к единице, то связь между признаками может быть интерпретирована как довольно тесная линейная. Если его модуль равен единице ê rx , y ê =1, то связь между признаками функциональная линейная.
Если признаки х и y линейно независимы, то rx,y близок к 0.

Для расчета rx,y можно использовать также таблицу 1.

https://www.youtube.com/watch?v=upload

Таблица 1

N наблюдения xi yi xi·yi (xix (yiy
1 x1 y1 x1·y1 (x1x (y1y
2 x2 y2 x2·y2 (x2x (y2y
n xn yn xn·yn (xnx (yny
Сумма по столбцу ∑x ∑y ∑x·y ∑(xix ∑(yiy
Среднее значение

Для оценки качества полученного уравнения регрессии рассчитывают теоретический коэффициент детерминации – R – объясненная уравнением регрессии дисперсия – остаточная (необъясненная  уравнением регрессии) дисперсия  – общая (полная) дисперсия , объясняемую регрессией (а, следовательно, и фактором ), в общей вариации (дисперсии) . Коэффициент детерминации R принимает значения от 0 до 1. Соответственно величина 1-R характеризует долю дисперсии , вызванную влиянием прочих неучтенных в модели факторов  и ошибками спецификации.
При парной линейной регрессии R

Это интересно