Как найти математическое ожидание случайной величины

Как найти математическое ожидание случайной величины

Как найти математическое ожидание случайной величины
СОДЕРЖАНИЕ

Математическое ожидание случайной величины[править]

Определение:
Математическое ожидание (англ. mean value) [math] left( Exi right) [/math] — мера среднего значения случайной величины, равная [math]Exi = sum xi(omega) cdot p(omega)[/math]
Теорема:

[math]sumlimits_{omegaepsilonOmega} xi(omega) cdot p(omega) = sumlimits_a a cdot p(xi = a)[/math]

Доказательство:
[math]triangleright[/math]
[math]sumlimits_a sumlimits_{omega|xi(omega) = a} xi(omega) cdot p(omega) = sumlimits_a a cdot sumlimits_{omega|xi(omega)=a}p(omega) = sumlimits_a a cdot p(xi = a)[/math]
[math]triangleleft[/math]

Пусть наше вероятностное пространство — «честная кость»

[math] xi(i) = i [/math]

https://www.youtube.com/watch?v=ytpressru

[math] Exi = 1cdot dfrac{1}{6} 2cdot dfrac{1}{6} dots 6cdot dfrac{1}{6} = 3.5[/math]

Свойства математического ожидания[править]

Утверждение (о матожидании константы):

[math]E(a) = a[/math], где [math]a in R[/math] — константа.

Утверждение (о матожидании неравенств):

Если [math]0 leqslant xi leqslant eta[/math], и [math]eta[/math] — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины [math]xi[/math] также конечно, и [math]0 leqslant E(xi) leqslant E(eta)[/math].

Утверждение (о матожидании случайной величины на событии вероятности нуль):

Если [math]xi = eta[/math], то [math]E(xi) = E(eta)[/math].

Утверждение (о матожидании двух независимых случайных величин):

Если [math]xi[/math] и [math]eta[/math] — две независимые случайные величины, то [math]E(xi cdot eta) = E(xi) cdot E(eta)[/math]

[math]triangleright[/math]

Согласно определению математического ожидания, [math]E(xi cdot eta) = sumlimits_{omega} xi(omega)cdoteta(omega)cdot p(omega)[/math].

По теореме, [math]sumlimits_{omega} xi(omega) cdot p(omega) = sumlimits_a a cdot p(xi = a)[/math]. Поэтому [math]sumlimits_{omega} xi(omega)cdoteta(omega)cdot p(omega)=sumlimits_a a cdot sumlimits_b b cdot p(xi = a,eta = b)[/math].

Поскольку [math]xi[/math] и [math]eta[/math] — независимые величины, [math]p(xi = a,eta = b) = p(xi = a)cdot p(eta = b)[/math].

Тогда получаем, что [math]sumlimits_a a cdot sumlimits_b b cdot p(xi = a,eta = b) = sumlimits_a a cdot sumlimits_b b cdot p(xi = a)cdot p(eta = b)=sumlimits_a acdot p(xi=a) cdot sumlimits_b b cdot p(eta = b)=E(xi) cdot E(eta)[/math].

[math]triangleleft[/math]

Использование линейности[править]

Рассмотрим три задачи.

Найти математическое ожидание суммы цифр на случайной кости домино.

Пусть [math] xi [/math] — случайная величина, которая возвращает первое число на кости домино, а [math] eta [/math] — возвращает второе число.
Очевидно, что [math] E(xi)= E(eta)[/math].
Посчитаем [math]E(xi)[/math].

[math]E(xi)={sum_{i=0}^6 limits}i cdot p(xi=i)={sum_{i=0}^6 limits}i cdot dfrac{1}{7}=3[/math]

Получаем ответ
[math]E(xi eta)=2E(xi)=6[/math]

Пусть у нас есть строка [math]s[/math]. Строка [math]t[/math] генерируется случайным образом так, что два подряд идущих символа неравны. Какое математическое ожидание количества совпавших символов? Считать что размер алфавита равен [math]k[/math], а длина строки [math]n[/math].

Рассмотрим случайные величины [math]xi^i[/math] — совпал ли у строк [math] i [/math]-тый символ.
Найдем математическое ожидание этой величины
[math]E(xi^i)=0 cdot p(xi^i=0) 1 cdot p(xi^i=1)=p(s[i]=t[i]) [/math] где [math]s[i],t[i][/math] — [math]i[/math]-тые символы соответствующих строк.
Так как появление каждого символа равновероятно, то [math]p(s[i]=t[i])=dfrac{1}{k}[/math].

Итоговый результат: [math]E(xi)={sum_{i=1}^n limits}E(xi^i)=dfrac{n}{k} [/math]

Найти математическое ожидание количества инверсий на всех перестановках чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math].

Как найти математическое ожидание случайной величины

Пусть [math] xi [/math] — случайная величина, которая возвращает количество инверсий в перестановке.

Очевидно, что вероятность любой перестановки равна [math] dfrac{1}{n!} [/math]

Тогда [math] Exi = dfrac{1}{n!}cdot{sum_{i=1}^{n!} limits}{xi^i} [/math]

Пусть [math] P = (p_1,p_2,dots,p_n)[/math] является перестановкой чисел [math] 1, 2,dots, n[/math].

https://www.youtube.com/watch?v=ytcreatorsru

Тогда [math] A = (p_n, p_{n-1}, dots, p_1) [/math] является перевёрнутой перестановкой [math] P [/math].

Как найти математическое ожидание случайной величины

Докажем, что количество инверсий в этих двух перестановках равно [math] dfrac{ncdot(n-1)}{2} [/math]

Рассмотрим все пары [math] 1 leqslant i lt j leqslant n [/math], таких пар всего [math] dfrac{ncdot(n-1)}{2} [/math]. Тогда пара этих чисел образуют инверсию или в [math]P[/math], или в [math]A[/math]. Если [math]j[/math] стоит раньше [math]i[/math] в перестановке [math]P[/math], то [math]j[/math] будет стоять после [math]i[/math] и уже не будет давать инверсию. Аналогично, если [math]j[/math] стоит раньше [math]i[/math] в перестановке [math]A[/math].

Всего таких пар из перестановки и перевернутой перестановки будет [math] dfrac{n!}{2} [/math].

Итого: [math] Exi = dfrac{1}{n!}cdotdfrac{ncdot(n-1)}{2}cdotdfrac{n!}{2} = dfrac{ncdot(n-1)}{4} [/math]

Примеры распределений[править]

[math]P(xi = 1) = p[/math]
[math]P(xi = 0) = q[/math]
[math]E(xi) = 1 cdot p 0 cdot q = p[/math]

Гипергеометрическое распределение в теории вероятностей моделирует количество удачных выборок без возвращения из конечной совокупности.

[math]P_xi(k) equiv P(xi = k) = dfrac{C_D^k cdot C_{N-D}^{n-k}}{C_N^n}[/math],

https://www.youtube.com/watch?v=ytcopyrightru

где [math]C_n^k equiv dfrac{n!}{k! cdot (n-k)!}[/math] обозначает биномиальный коэффициент.

Гипергеометрическое распределение обозначается [math] xi sim mathrm{HG}(D,N,n)[/math].

[math]E(xi) = dfrac{n cdot D}{N}[/math]
Это интересно